La regla de Ruffini i el mètode tianyuan

De la mateixa manera que, —com cita Meavilla[2006], 101—, van der Werden[1983], 134, va escriure que Pell poc va a tenir a veure amb l’equació diofàntica   que porta el seu nom, la popular regla de Ruffini no s’origina amb el matemàtic Paolo Ruffini del qual ha agafat el nom. Que sapiguem, es troba a la matemàtica àrab¹ [s.XII] i possiblement abans a l’antiga Xina [s.XI-XII], —on era coneguda com el mètode tianyuan o de l’element celestial—, d’on va ser transmesa al Japó de l’època d’Edo [s.XVII-XIX], —mètode tengen—. Era utilitzada per al càlcul aproximat d’arrels d’equacions amb la propietat que simplificava el nombre d’operacions necessaris. Tot això es feia lluny dels conceptes i mètodes més abstractes de la divisibilitat i factorització de polinomis, que és com se sol presentar, —al meu parer de manera desafortunada—,  actualment als nostres estudiants.

1. Apunt històric

♦ La regla en les obres de Paolo Ruffini.
A les pàgines 297-298 de Ruffini[1799] trobem un versió de la regla, —aplicada des dels coeficients de menor grau en sentit creixent, contràriament a com ho fem nosaltres i amb una configuració diferent—, per trobar les arrels de l’equació .
En la memòria Ruffini[1804], es presenta el mètode atribuït a Horner[1819]² per aproximar numèricament les arrels d’una equació. Allí, per calcular els coeficients de les diferents línies implicades, utilitza la regla.³
A les pàgines 304-305 de Ruffini[1807] trobem l’aplicació de la regla, quasi bé amb la configuració actual, per calcular,
• quan .
• quan .

♦ El tianyuan
Segons Martzloff [1987], tan aviat com els segles XI i XII els matemàtics xinesos usaven el mètode tianyuan estretament relacionat amb la regla de Ruffini i més exactament amb el mètode de Ruffini-Horner.⁴ La base del mètode es troba en l’utilització de la propietat distribuitiva  de cara a la reducció del nombre d’operacions necessàries per al càlcul dels valors d’un polinomi. Concretament, s’utilitza que

En la tradició xinesa, l’àlgebra és més una eina per resoldre problemes que no una matèria que s’estudiï per ella mateixa. En la tradició japonesa de l’època d’Edo hi ha un esforç de generalització, de fer-ne una presentació abstracta i de crear una estructura dels processos de resolució. Un exemple de les conseqüències d’aquesta orientació és la introducció d’una àlgebra escrita que incorpora en el tianyuan coeficients literals. Això permet d’estudiar les condicions d’existència de solucions d’una equació o la compatibilitat de les dades d’un problema. Una de les conseqüències d’aquestes recerques és que els permet resoldre problemes d’optimització en què es veuen involucrades expressions polinòmiques, i fraccions racionals i expressions algèbriques amb radicals. Ho aconsegueixen amb l’ajut del polinomi derivat d’un polinomi donat. Aquest és obtingut sense recórrer a les tècniques d’occident que inclouen el concepte d’infinit petit sinò a partir de les seves recerques sobre el tianyuan.⁵

2.  Presentació del mètode tianyuan, per al grau ≤ 4, amb Geogebra

Es presenta el tianyuan, amb la configuració actual, amb un suport gràfic per visualitzar les successives aproximacions de les arrels de l’equació.

tianyuan – Geogebra

3. Presentació de la regla de Ruffini, per al grau ≤ 4, amb Geogebra

Una presentació de la regla de Ruffini, amb un suport gràfic per visualitzar les successives aproximacions de les arrels de l’equació.

regla de Ruffini – Geogebra

4. Activitats per a 2n cicle d’ESO i  BAT

1) Considereu l’enunciat següent:

Donat un paral·lelepípede en què la diferència entre la llargada i l’amplada és dt unitats i la suma de l’amplada i l’alçada és de 8 unitats, trobeu el que té volum més gran possible.

• 3r/4t d’ESO: Utlitzeu-lo per introduir la regla de Ruffini amb la finalitat de construir una taula de valors que aproximi la solució del problema.
• 4t d’ESO: Utilitzeu-lo per fer una introducció al tractament de l’optimització mitjançant la imposició d’existència d’arrels dobles en una equació. Consulteu l’esborrany d’apunt Nolla [2012].

2) 3r/4t d’ESO: Interacció amb el fitxer Geogebra de la secció 3, per a una discussió sobre la regla de Ruffini.

3) BAT: Recerca al voltant del problema 2 de la pàgina 6 de Nolla [2012].

4) BAT: Recerca al voltant del tianyuan amb l’ajut del fitxer Geogebra de la secció 2.

5. Notes i referències

¹ Vegeu Rashed [1984].
² Vegeu l’article de Horner a Smith[1929] i un exemple de presentació del mètode a Meavilla[2006].
³ Vegeu Cajori[1911].
⁴ Vegeu Wang-Needham[1955] i Smith[1929].
⁵ Vegeu l’article Nolla [2011] i l’apunt Nolla [2010].

Obres citades:

• Cajori, F. [1911]. «Horner’s Method of Approximation Anticipated by Ruffini». Bulletin of American Mathematical Society, XVII, 409-414.
• Horiuchi, A. [1994]. Les mathématiques japonaises à l’epoque d’Edo, 94-110. VRIN. Paris.
• Martzloff, JC [1987]. Histoire des mathématiques chinoises. Masson. Paris. [Traducció anglesa  de Wilson S., A History of Chinese Mathematics, 231-249, Springer-Verlag, 1997.]
• Meavilla, V [2006]. Ruffini. popular y desconocido. NIVOLA. Tres Cantos.
• Nolla, R. [2010]. Sobre el tianyuan i l’optimització en la matemàtica japonesa. Apunt en PDF.
• Nolla, R. [2011]. «Sangakus. Contemplació i raó». Noubiaix, 43-61. FEEMCAT i SCM. Barcelona.
• Nolla, R. [2012]. Resolució d’equacions algèbriques i optimització. Esborrany d’apunt en PDF.
• Pla, J. [2009]. Liu Hui. Nueve capítulos de la matemática china. NIVOLA. Tres Cantos. 187-196.
• Rashed, R. [1984]. Entre arithmétique et algèbre. Recherches sur l’histoire des mathématiques arabes, 100-115. Les Belles Lettres. Paris.
• Ruffini, P. [1799]. Teoria generalle delle equazioni, in cui si dimostra impossibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiori al quarto, 297-298. Stamperia di S. Tommaso D’Aquino. Bolonia
• Ruffini, P. [1804]. Sopra la determinazionedelle radici nelle equazioni numeriche di qualunque grado. Società Tipografica. Modena. [Transcripció de les pàgines 22-25 a Cajori[1911].]
• Ruffini, P. [1807]. Algebra elementare, 304-305 . Società Tipografica. Modena.
• Smith, D.E. [1929]. «Horner’s Method». A Source Book in Mathematics. McGraw-Hill Book Co. New York. [Edició consultada, Dover, 1959, 232-252.]
• Waerden, B.L. van der [1983]. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, 134. Springer-Verlag
• Wang, L. & Needham, J. [1955]. «Horner’s Method in Chinese Mathematics: Its Origins in the Root-Extraction Procedures of the Han Dinasty», T’oung Pao, Vol. 43, Livr. 5, p. 345-401. Leiden, E.J.Brill.

Anuncis

Problema del cinema

Presentem un clàssic entre els problemes d’optimització. Adopta formulacions diverses: visualització òptima, des de la banda, d’una pantalla de cinema o de la porteria d’un camp de futbol o, des del terra, d’una estatua sobre un pedestal, etc.

1. Una mica d’història. La primera notícia que tenim del problema és que fou posat per Johannes Müller [1436-1476] de Könisberg, —conegut com a Regiomontanus traducció llatina de Könisberg (muntanya reial)—, en una carta dirigida a Christian Roder l’any 1471:

Des quin punt situat al terra es veu amb grandària més gran possible, una vareta penjada verticalment.

En el camp de les matemàtiques el seu treball més important fou De Triangulis Omnimodis.^[1] Aquest, tot i no ser una creació original seva, —copia Jabir ibn Afla[s.XII]—, compilà tots els coneixements de trigonometria d’una manera força assequible i es convertí en un text estàndard sobre la matèria. El seu prestigi com  astrònom i matemàtic va fer que l’any 1475 el Papa Sixt IV el cridés a Roma per a la reforma del calendari julià, empresa que no va poder dur a terme perquè morí poc després.^[2]

Problema del cinema

2. Enunciat. En la figura observeu dues semirectes r i s, d’origen O, perpendiculars. Sobre s considerem dos punts A i B de posició donada. Anomeneu a i b les distàncies OA i OB. Sobre r considerem el punt variable P. Es tracta de determinar i construir la posició d’aquest punt P per la qual l’angle  és màxim.

3. Construcció de la solució. Visualització pas a pas.

Problema del cinema - Geogebra

4. Variació del problema. Una versió del problema del cinema en què el terra es corb es plantejada per Hermann Karl E. Martus en la seva obra escrita en alemany Maxima und minima, editor Adolph Enslin, Berlin, 1861. Diu més o menys així:

Per a quina latitud, els anells de Saturn es visualitzen sota un angle màxim. (S’entén que quan es parla de la latitud a Saturn, es pren com a pla equatorial el que conté els anells.)

5. Solució de la variació

Variació del problema - Geogebra

6. Activitats per a BAT.

1. Vegeu el document PDF en què es proposen l’elaboració de dos tipus de resolució del problema inicial: una amb llenguatge trigonomètric-algèbric, sense recórrer al càlcul de derivades imposant la condició d’arrel doble, i una altra amb llenguatge estrictament geomètric. Finalment, s’estudia la generació d’una corba cònica quan varia un dels paràmetres.
2. Elaboreu una anàlisi geomètrica de la variació del problema presentada a les seccions 4 i 5.

7. Notes i referències

¹ Vegeu una anàlisi i una adaptació a l’aula de 2n cicle d’ESO dels mètodes algèbrics d’aquesta obra a Guevara, I.- Massa, M.R. [2005]. Mètodes algebraics a l’obra de Regiomontanus (1436-1476). BIAIX, 24, 27-34.
² Vegeu Suzuki, J. [2002].  A History of Mathematics, 302-304. Prentice Hall. Upper Saddle River, New Jersey.

Obres amb informació i desenvolupaments de les dues versions del problema:

• Dörrie, H. [1965]. 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Solution, 369-371. Dover. New York.
• Lidski, V.B. i altres [1978]. Problemas de matemàticas elementales, 65-66,
  271-272. Editorial MIR. Moscú.
• Maor, E. [1998]. Trigonometric Delights, 41-49. Princeton University Press. Princeton, New Jersey. http://press.princeton.edu/books/maor/
• Nahin, P.J. [2004]. When Least is Best, 71-79. Princeton University Press. Princeton, New Jersey.
• Petkovic, M.S. [2009]. Famous Puzzles of Great Mathematicians, 86-91. American Mathematical Society. Providence, Rhode Island.

Congruència de polígons per addició – 3

(Continuació de congruència per addició – 2)

1. Fitxer 4. Donats dos triangles amb les bases i altures iguals es presenta la construcció  pas a pas del puzle 1 de congruència per addició- 2. En aquest cas, si se superposen les bases dels dos triangles, el punt d’intersecció dels dos costats que es tallen es troba més a prop de la paral·lela a la base pel vèrtex superior que de la base.

Construcció del puzle 1

2. Activitats per al BAT.

1. Feu una descripció acurada de les etapes de la construcció i justifiqueu amb raonaments geomètrics que és correcta.
2. Investigueu de quina manera es pot construir el puzle 2 de congruència per addició- 2. En aquest cas, quan se superposen les bases dels dos triangles, el punt d’intersecció dels dos costats que es tallen es troba més a prop de la base que de la paral·lela a la base pel vèrtex superior.

Congruència de polígons per addició – 2

(Continuació de congruència per addició – 1)

1. Fitxers 2 i 3. Donats dos triangles amb les bases i altures iguals es presenten dos puzles de peces poligonals per tal de comprovar que els dos triangles es poden compondre amb les mateixes peces.

• Cas 1: Puzle de 4 peces.

Puzle 1

 • Cas 2: Puzle de 5 peces.

Puzle 2

2. Activitats per a l’ESO i BAT

1. A partir de les peces dels puzles completeu els dos triangles de cada puzle. Feu-ho per a parelles de triangles inicials diferents.
2. Trobeu algun motiu per haver fet dos casos separats?
3. Esbrineu quines són les línies que serveixen de referència per construir el puzle.

3. Activitat per al BAT

Feu una anàlisi del problema de trobar una partició que encaixi en els dos triangles per a cadascun dels dos casos presentats.
Indicació: Un camí per a l’adquisició d’intuïcions pot ser el de considerar paral·lelograms que tinguin la mateixa àrea que els triangles.

Congruència de polígons per addició – 1

1. Introducció. A partir del teorema I.33 dels Elements d’Euclides comença una secció dedicada a la comparació i aplicació d’àrees. Aquesta s’allarga fins el teorema I.45 i prepara el terreny per a la presentació del teorema de Pitàgores i el seu recíproc en I.47 i I.48.
Prèviament, en I.46, s’ha presentat la construcció del quadrat, segon dels polígons regulars construïts en els Elements, després de la del triangle equilàter construïyten I.1. És remarcable que aquesta última construcció és utilitzada per Euclides per demostrar en I.2 que el compàs modern i el compàs euclidià (col·lapsable), són equivalents.
Entre tots aquests teoremes, tenim que I.35 i I.36 proporcionen els primers rudiments per estudiar la congruència de polígons per addició.

2. Objectiu. En aquest i successius posts es presentaran fitxers Geogebra que poden ser útils per estudiar alguns casos concrets de polígons congruents per addició d’un nombre finit de peces poligonals, així com per al plantejament d’activitats relacionades per als estudiants. Concretament la congruència per addició de polígons planteja que,

donats dos polígons, es tracta de partir un dels polígons en un nombre finit de peces poligonals de manera que reordenades componguin l’altre polígon.

Aquest objectiu es pot assolir sempre que els dos polígons inicials tinguin la mateixa àrea. El recíproc és evident i és la base d’allò que Pla [2009], 253-277, anomena mètode del tangram per demostrar que dues superfícies tenen la mateixa àrea.

Per al muntatge dels fitxers i activitats hem partit de l’estudi de:

• Els teoremes I.33 i I.45 dels Elements, Heath [1956], vol.I, 326-347.
• Les tres primeres seccions del capítol 5 de Eves [1963], vol.I, 229-248.
• La secció 1.9 i les seves activitats de Nolla [2006], 56-61, 419-421.

3. Fitxer 1. Donats dos paral·lelograms amb les bases i altures iguals, es visualitza pas a pas la construcció d’una partició d’un d’ells que un cop reordenada compon l’altre.

Paral·lelograms congruents per addició

4. Activitats per a l’ESO

1. Donats un rectangle i un paral·lelogrma amb les bases i altures iguals, trobeu, expliqueu i raoneu de quina manera partir el paral·lelogram per obtenir el rectangle un cop reordenades les peces de la partició. Treballeu dos casos:
1. El costat oblic del paral·lelogram és menor que la diagonal del rectangle.
2. El costat oblic del paral·lelogram és major que la diagonal del rectangle.
2. Genereu un procediment per al càlcul de l’àrea d’un paral·lelogram qualsevol a partir d’un procediment ideat per al càcul de l’àrea d’un rectangle. Presenteu el resultat del procediment en el llenguatge simbòlic de l’àlgebra.

5. Referències.

• Eves, Howard [1963]. A survey of geometry. Allyn and Bacon, Boston.
• Heath, sir Thomas L. [1956]. The thirteen books of Euclid’s Elements. Dover, New York.
• Heiberg, J.L. – Fitzpatrick, R. [2008]. Euclid’s elements of geometry. http://farside.ph.utexas.edu/euclid/Elements.pdf
• Joyce, David E. [1996]. Euclid’s Elements. Dept Math & Compu.t Sci. Clark University. http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html
• Nolla, Ramon [2006]. Estudis i activitats sobre problemes clau de la Història de la matemàtica. SCM-IEC, Barcelona.
• Pla, Josep [2009]. Liu Hui. Nueve capítulos de la matemática china. NIVOLA, Tres Cantos.

Post d’inici del blog

S’inicia aquest blog amb la intenció de compartir recursos i reflexions relacionades amb l’activitat matemàtica.