La regla de Ruffini i el mètode tianyuan

De la mateixa manera que, —com cita Meavilla[2006], 101—, van der Werden[1983], 134, va escriure que Pell poc va a tenir a veure amb l’equació diofàntica x^2+Dy^2=1  que porta el seu nom, la popular regla de Ruffini no s’origina amb el matemàtic Paolo Ruffini del qual ha agafat el nom. Que sapiguem, es troba a la matemàtica àrab1 [s.XII] i possiblement abans a l’antiga Xina [s.XI-XII], —on era coneguda com el mètode tianyuan o de l’element celestial—, d’on va ser transmesa al Japó de l’època d’Edo [s.XVII-XIX], —mètode tengen—. Era utilitzada per al càlcul aproximat d’arrels d’equacions amb la propietat que simplificava el nombre d’operacions necessaris. Tot això es feia lluny dels conceptes i mètodes més abstractes de la divisibilitat i factorització de polinomis, que és com se sol presentar, —al meu parer de manera desafortunada—,  actualment als nostres estudiants.

1. Apunt històric

La regla en les obres de Paolo Ruffini.
A les pàgines 297-298 de Ruffini[1799] trobem un versió de la regla, —aplicada des dels coeficients de menor grau en sentit creixent, contràriament a com ho fem nosaltres i amb una configuració diferent—, per trobar les arrels de l’equació x^5-3x^4-4x^3+12x^2+3x-9=0.
En la memòria Ruffini[1804], es presenta el mètode atribuït a Horner[1819]2 per aproximar numèricament les arrels d’una equació. Allí, per calcular els coeficients de les diferents línies implicades, utilitza la regla.3
A les pàgines 304-305 de Ruffini[1807] trobem l’aplicació de la regla, quasi bé amb la configuració actual, per calcular,
u^5+9u^4+28u^3+35u^2+15u+1 quan u=4.
2u^5-45u^3+7 quan u=3.

♦ El tianyuan
Segons Martzloff [1987], tan aviat com els segles XI i XII els matemàtics xinesos usaven el mètode tianyuan estretament relacionat amb la regla de Ruffini i més exactament amb el mètode de Ruffini-Horner.4 La base del mètode es troba en l’utilització de la propietat distribuitiva  de cara a la reducció del nombre d’operacions necessàries per al càlcul dels valors d’un polinomi. Concretament, s’utilitza que
\begin{array}{ll}  a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+ a_2x^2+a_1x+a_0\\  \qquad =((\cdots((a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\cdots +a_2)x+a_1)x+a_0.  \end{array}

En la tradició xinesa, l’àlgebra és més una eina per resoldre problemes que no una matèria que s’estudiï per ella mateixa. En la tradició japonesa de l’època d’Edo hi ha un esforç de generalització, de fer-ne una presentació abstracta i de crear una estructura dels processos de resolució. Un exemple de les conseqüències d’aquesta orientació és la introducció d’una àlgebra escrita que incorpora en el tianyuan coeficients literals. Això permet d’estudiar les condicions d’existència de solucions d’una equació o la compatibilitat de les dades d’un problema. Una de les conseqüències d’aquestes recerques és que els permet resoldre problemes d’optimització en què es veuen involucrades expressions polinòmiques, i fraccions racionals i expressions algèbriques amb radicals. Ho aconsegueixen amb l’ajut del polinomi derivat d’un polinomi donat. Aquest és obtingut sense recórrer a les tècniques d’occident que inclouen el concepte d’infinit petit sinò a partir de les seves recerques sobre el tianyuan.5

2.  Presentació del mètode tianyuan, per al grau ≤ 4, amb Geogebra

Es presenta el tianyuan, amb la configuració actual, amb un suport gràfic per visualitzar les successives aproximacions de les arrels de l’equació.

enllaça el fitxer Geogebra

tianyuan – Geogebra

3. Presentació de la regla de Ruffini, per al grau ≤ 4, amb Geogebra

Una presentació de la regla de Ruffini, amb un suport gràfic per visualitzar les successives aproximacions de les arrels de l’equació.

enllaça fitxer Geogebra

regla de Ruffini – Geogebra

4. Activitats per a 2n cicle d’ESO i  BAT

1) Considereu l’enunciat següent:

Donat un paral·lelepípede en què la diferència entre la llargada i l’amplada és dt unitats i la suma de l’amplada i l’alçada és de 8 unitats, trobeu el que té volum més gran possible.

  • 3r/4t d’ESO: Utlitzeu-lo per introduir la regla de Ruffini amb la finalitat de construir una taula de valors que aproximi la solució del problema.
  • 4t d’ESO: Utilitzeu-lo per fer una introducció al tractament de l’optimització mitjançant la imposició d’existència d’arrels dobles en una equació. Consulteu l’esborrany d’apunt Nolla [2012].

2) 3r/4t d’ESO: Interacció amb el fitxer Geogebra de la secció 3, per a una discussió sobre la regla de Ruffini.

3) BAT: Recerca al voltant del problema 2 de la pàgina 6 de Nolla [2012].

4) BAT: Recerca al voltant del tianyuan amb l’ajut del fitxer Geogebra de la secció 2.

5. Notes i referències

1 Vegeu Rashed [1984].
2 Vegeu l’article de Horner a Smith[1929] i un exemple de presentació del mètode a Meavilla[2006].
3 Vegeu Cajori[1911].
4 Vegeu Wang-Needham[1955] i Smith[1929].
5 Vegeu l’article Nolla [2011] i l’apunt Nolla [2010].

Obres citades:

Publicat dins de Àlgebra, Batxillerat, ESO, Història de la Matemàtica, Optimització | Etiquetat com a , , , , , , , , | Deixa un comentari

Problema del cinema

Presentem un clàssic entre els problemes d’optimització. Adopta formulacions diverses: visualització òptima, des de la banda, d’una pantalla de cinema o de la porteria d’un camp de futbol o, des del terra, d’una estatua sobre un pedestal, etc.

1. Una mica d’història. La primera notícia que tenim del problema és que fou posat per Johannes Müller [1436-1476] de Könisberg, —conegut com a Regiomontanus traducció llatina de Könisberg (muntanya reial)—, en una carta dirigida a Christian Roder l’any 1471:

Des quin punt situat al terra es veu amb grandària més gran possible, una vareta penjada verticalment.

En el camp de les matemàtiques el seu treball més important fou De Triangulis Omnimodis.[1] Aquest, tot i no ser una creació original seva, —copia Jabir ibn Afla[s.XII]—, compilà tots els coneixements de trigonometria d’una manera força assequible i es convertí en un text estàndard sobre la matèria. El seu prestigi com  astrònom i matemàtic va fer que l’any 1475 el Papa Sixt IV el cridés a Roma per a la reforma del calendari julià, empresa que no va poder dur a terme perquè morí poc després.[2]

Cinema 1210

Problema del cinema

2. Enunciat. En la figura observeu dues semirectes r i s, d’origen O, perpendiculars. Sobre s considerem dos punts A i B de posició donada. Anomeneu a i b les distàncies OA i OB. Sobre r considerem el punt variable P. Es tracta de determinar i construir la posició d’aquest punt P per la qual l’angle \alpha=\angle OPB és màxim.

3. Construcció de la solució. Visualització pas a pas.

enllaça el fitxer Geogebra

Problema del cinema - Geogebra

4. Variació del problema. Una versió del problema del cinema en què el terra es corb es plantejada per Hermann Karl E. Martus en la seva obra escrita en alemany Maxima und minima, editor Adolph Enslin, Berlin, 1861. Diu més o menys així:

Per a quina latitud, els anells de Saturn es visualitzen sota un angle màxim. (S’entén que quan es parla de la latitud a Saturn, es pren com a pla equatorial el que conté els anells.)

5. Solució de la variació

enllaça fitxer Geogebra

Variació del problema - Geogebra

6. Activitats per a BAT.

  1. Vegeu el document PDF en què es proposen l’elaboració de dos tipus de resolució del problema inicial: una amb llenguatge trigonomètric-algèbric, sense recórrer al càlcul de derivades imposant la condició d’arrel doble, i una altra amb llenguatge estrictament geomètric. Finalment, s’estudia la generació d’una corba cònica quan varia un dels paràmetres.
  2. Elaboreu una anàlisi geomètrica de la variació del problema presentada a les seccions 4 i 5.

7. Notes i referències

1 Vegeu una anàlisi i una adaptació a l’aula de 2n cicle d’ESO dels mètodes algèbrics d’aquesta obra a Guevara, I.- Massa, M.R. [2005]. Mètodes algebraics a l’obra de Regiomontanus (1436-1476). BIAIX, 24, 27-34.
2 Vegeu Suzuki, J. [2002].  A History of Mathematics, 302-304. Prentice Hall. Upper Saddle River, New Jersey.

Obres amb informació i desenvolupaments de les dues versions del problema:

Publicat dins de Àlgebra, Batxillerat, Geometria, Història de la Matemàtica, Optimització | Etiquetat com a , , , , , , | Deixa un comentari

Congruència de polígons per addició – 3

(Continuació de congruència per addició – 2)

1. Fitxer 4. Donats dos triangles amb les bases i altures iguals es presenta la construcció  pas a pas del puzle 1 de congruència per addició- 2. En aquest cas, si se superposen les bases dels dos triangles, el punt d’intersecció dels dos costats que es tallen es troba més a prop de la paral·lela a la base pel vèrtex superior que de la base.

Enllaça el fitxer Geogebra

Construcció del puzle 1

2. Activitats per al BAT.

  1. Feu una descripció acurada de les etapes de la construcció i justifiqueu amb raonaments geomètrics que és correcta.
  2. Investigueu de quina manera es pot construir el puzle 2 de congruència per addició- 2. En aquest cas, quan se superposen les bases dels dos triangles, el punt d’intersecció dels dos costats que es tallen es troba més a prop de la base que de la paral·lela a la base pel vèrtex superior.
Publicat dins de Batxillerat, Geometria | Etiquetat com a , , , , , , , | Deixa un comentari