De la mateixa manera que, —com cita Meavilla[2006], 101—, van der Werden[1983], 134, va escriure que Pell poc va a tenir a veure amb l’equació diofàntica que porta el seu nom, la popular regla de Ruffini no s’origina amb el matemàtic Paolo Ruffini del qual ha agafat el nom. Que sapiguem, es troba a la matemàtica àrab1 [s.XII] i possiblement abans a l’antiga Xina [s.XI-XII], —on era coneguda com el mètode tianyuan o de l’element celestial—, d’on va ser transmesa al Japó de l’època d’Edo [s.XVII-XIX], —mètode tengen—. Era utilitzada per al càlcul aproximat d’arrels d’equacions amb la propietat que simplificava el nombre d’operacions necessaris. Tot això es feia lluny dels conceptes i mètodes més abstractes de la divisibilitat i factorització de polinomis, que és com se sol presentar, —al meu parer de manera desafortunada—, actualment als nostres estudiants.
1. Apunt històric
♦ La regla en les obres de Paolo Ruffini.
A les pàgines 297-298 de Ruffini[1799] trobem un versió de la regla, —aplicada des dels coeficients de menor grau en sentit creixent, contràriament a com ho fem nosaltres i amb una configuració diferent—, per trobar les arrels de l’equació .
En la memòria Ruffini[1804], es presenta el mètode atribuït a Horner[1819]2 per aproximar numèricament les arrels d’una equació. Allí, per calcular els coeficients de les diferents línies implicades, utilitza la regla.3
A les pàgines 304-305 de Ruffini[1807] trobem l’aplicació de la regla, quasi bé amb la configuració actual, per calcular,
• quan
.
• quan
.
♦ El tianyuan
Segons Martzloff [1987], tan aviat com els segles XI i XII els matemàtics xinesos usaven el mètode tianyuan estretament relacionat amb la regla de Ruffini i més exactament amb el mètode de Ruffini-Horner.4 La base del mètode es troba en l’utilització de la propietat distribuitiva de cara a la reducció del nombre d’operacions necessàries per al càlcul dels valors d’un polinomi. Concretament, s’utilitza que
En la tradició xinesa, l’àlgebra és més una eina per resoldre problemes que no una matèria que s’estudiï per ella mateixa. En la tradició japonesa de l’època d’Edo hi ha un esforç de generalització, de fer-ne una presentació abstracta i de crear una estructura dels processos de resolució. Un exemple de les conseqüències d’aquesta orientació és la introducció d’una àlgebra escrita que incorpora en el tianyuan coeficients literals. Això permet d’estudiar les condicions d’existència de solucions d’una equació o la compatibilitat de les dades d’un problema. Una de les conseqüències d’aquestes recerques és que els permet resoldre problemes d’optimització en què es veuen involucrades expressions polinòmiques, i fraccions racionals i expressions algèbriques amb radicals. Ho aconsegueixen amb l’ajut del polinomi derivat d’un polinomi donat. Aquest és obtingut sense recórrer a les tècniques d’occident que inclouen el concepte d’infinit petit sinò a partir de les seves recerques sobre el tianyuan.5
2. Presentació del mètode tianyuan, per al grau ≤ 4, amb Geogebra
Es presenta el tianyuan, amb la configuració actual, amb un suport gràfic per visualitzar les successives aproximacions de les arrels de l’equació.
3. Presentació de la regla de Ruffini, per al grau ≤ 4, amb Geogebra
Una presentació de la regla de Ruffini, amb un suport gràfic per visualitzar les successives aproximacions de les arrels de l’equació.
4. Activitats per a 2n cicle d’ESO i BAT
1) Considereu l’enunciat següent:
Donat un paral·lelepípede en què la diferència entre la llargada i l’amplada és dt unitats i la suma de l’amplada i l’alçada és de 8 unitats, trobeu el que té volum més gran possible.
- 3r/4t d’ESO: Utlitzeu-lo per introduir la regla de Ruffini amb la finalitat de construir una taula de valors que aproximi la solució del problema.
- 4t d’ESO: Utilitzeu-lo per fer una introducció al tractament de l’optimització mitjançant la imposició d’existència d’arrels dobles en una equació. Consulteu l’esborrany d’apunt Nolla [2012].
2) 3r/4t d’ESO: Interacció amb el fitxer Geogebra de la secció 3, per a una discussió sobre la regla de Ruffini.
3) BAT: Recerca al voltant del problema 2 de la pàgina 6 de Nolla [2012].
4) BAT: Recerca al voltant del tianyuan amb l’ajut del fitxer Geogebra de la secció 2.
5. Notes i referències
1 Vegeu Rashed [1984].
2 Vegeu l’article de Horner a Smith[1929] i un exemple de presentació del mètode a Meavilla[2006].
3 Vegeu Cajori[1911].
4 Vegeu Wang-Needham[1955] i Smith[1929].
5 Vegeu l’article Nolla [2011] i l’apunt Nolla [2010].
Obres citades:
- Cajori, F. [1911]. «Horner’s Method of Approximation Anticipated by Ruffini». Bulletin of American Mathematical Society, XVII, 409-414.
- Horiuchi, A. [1994]. Les mathématiques japonaises à l’epoque d’Edo, 94-110. VRIN. Paris.
- Martzloff, JC [1987]. Histoire des mathématiques chinoises. Masson. Paris. [Traducció anglesa de Wilson S., A History of Chinese Mathematics, 231-249, Springer-Verlag, 1997.]
- Meavilla, V [2006]. Ruffini. popular y desconocido. NIVOLA. Tres Cantos.
- Nolla, R. [2010]. Sobre el tianyuan i l’optimització en la matemàtica japonesa. Apunt en PDF.
- Nolla, R. [2011]. «Sangakus. Contemplació i raó». Noubiaix, 43-61. FEEMCAT i SCM. Barcelona.
- Nolla, R. [2012]. Resolució d’equacions algèbriques i optimització. Esborrany d’apunt en PDF.
- Pla, J. [2009]. Liu Hui. Nueve capítulos de la matemática china. NIVOLA. Tres Cantos. 187-196.
- Rashed, R. [1984]. Entre arithmétique et algèbre. Recherches sur l’histoire des mathématiques arabes, 100-115. Les Belles Lettres. Paris.
- Ruffini, P. [1799]. Teoria generalle delle equazioni, in cui si dimostra impossibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiori al quarto, 297-298. Stamperia di S. Tommaso D’Aquino. Bolonia
- Ruffini, P. [1804]. Sopra la determinazionedelle radici nelle equazioni numeriche di qualunque grado. Società Tipografica. Modena. [Transcripció de les pàgines 22-25 a Cajori[1911].]
- Ruffini, P. [1807]. Algebra elementare, 304-305 . Società Tipografica. Modena.
- Smith, D.E. [1929]. «Horner’s Method». A Source Book in Mathematics. McGraw-Hill Book Co. New York. [Edició consultada, Dover, 1959, 232-252.]
- Waerden, B.L. van der [1983]. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, 134. Springer-Verlag
- Wang, L. & Needham, J. [1955]. «Horner’s Method in Chinese Mathematics: Its Origins in the Root-Extraction Procedures of the Han Dinasty», T’oung Pao, Vol. 43, Livr. 5, p. 345-401. Leiden, E.J.Brill.